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たけし備忘録

自分の好奇心の赴くままに勉強メモ LL系が大好き Python bash Julia C

ルベーグ積分の早見まとめ

ルベーグ積分を最近勉強してるので早見表的にまとめていきます。個人的なまとめです。

測度論

測度論(measure theory)は

  1. 面積や長さとはなんだろう?

  2. ジョルダン測度(様々な図形の面積: 具体的)
    図形を小さな長方形に分けて寄せ集めたものを図形の面積とする考え(リーマン積分の考え方に似ている)

  3. ルベーグ測度(様々な図形の面積: 具体的)
    複数の長方形で図形を覆い(長方形は重なってもいい)、そのようなパターンをたくさん考える。その中で最も図形の面積に近いような長方形のパターンを面積とする考え。

  4. カラテオドリ測度(任意の集合の面積: 抽象的)
    ルベーグ測度のアイディアを元にして一般の集合の面積(測度)を考える

という流れになるだろう。これを頭の片隅に置いておこう。

ジョルダンの測度の考え

ジョルダンの測度は我々が普通に考えている図形の面積や長さそのものを指す。

ジョルダン測度はまだ具体的な考え方と見ることが出来るだろう。

ジョルダン測度

大幅に略するが、我々がおおよそ考えている面積や長さというものを

有界な集合$S$の測度を

$$ |S| $$ と書き、ジョルダン測度と呼ぶ。

たとえば縦幅$a$, 横幅$b$の長方形のジョルダン測度$|S|$は

$$ |S| = ab $$

となる。

区間$[a, b]$のジョルダン測度$|S|$は

$$ |S| = b - a $$

となる。

ルベーグの測度の考え

ルベーグ測度は

ルベーグ外測度

$S$を$\mathbb{R}^{2}$上の有界な集合、$I_{n} \ (n \in \mathbb{N})$を可算個の長方形とする。$I_{n}$のジョルダン測度$|I_{n}|$の和

$$ \sum_{n=1}^{\infty} |I_{n}| $$ の下限をルベーグ外測度と呼び

$$ m^{*}(S) = \inf \sum_{n=1}^{\infty} |I_{n}| $$

と書く。

ルベーグ内測度

ルベーグ外測度$m^{*}$が定義されている$\mathbb{R}^{2}$上の有界な集合$S$について。$S$を覆う長方形$J$を考えるとき$m_{*}$を

$$ m_{*}(S) = |J| - m^{*}(J \cap S^{c}) $$

と書き、ルベーグ内測度と呼ぶ。

ルベーグ測度とルベーグ可測

有界な集合$S$について外側度$m^{*}$及び内測度$m_{*}$が

$$ m(S) = m^{*}(S) = m_{*}(S) $$

となるとき集合$S$はルベーグ可測な集合またはルベーグ可測と呼ぶ。

このとき $ m $ をルベーグ測度と呼ぶ。

カラテオドリの測度の考え

カラテオドリ外側度

集合$X$のべき集合$\mathcal{B}(X)$に対して写像

$$ m^{*}: \mathcal{B}(X) \to \mathbb{R} $$

について$A, B \in \mathcal{B}(X)$とする

$$ \begin{eqnarray} &(1)& \ 0 \le m^{*}(A) \le \infty,\ m^{*}(\phi) = 0 \\ &(2)& A \subset B \Rightarrow m^{*}(A) \le m^{*}(B) \\ &(3)& m^{*}( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}) \le \sum_{n=1}^{\infty} m^{*}(A_{n}) \end{eqnarray} $$

(1)~(3)を$m^{*}$が満たすときカラテオドリ外側度と呼ぶ。

カラテオドリ可測

集合$X$の上にカラテオドリ外側度$m^{*}$が与えられているとする。
$A \in \mathcal{B}(X)$が$ \forall E \in \mathcal{B}(X)$に対して

$$ m^{*} (E) = m^{*} (E \cap A) + m^{*} (E \cap A^{c}) $$

が成り立つ時、集合$A$はカラテオドリ可測であると呼ぶ。カラテオドリ可測のとき

$$ m(X) = m^{*}(X) $$

と書き、$ m $ をカラテオドリ測度と呼ぶ。

リアプノフの安定定理の証明

リアプノフの安定定理

リアプノフの安定定理とは次のようなものである。

リアプノフの安定定理

自励系

$$ \dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}^{n} $$

において平衡点$x_{e}$を

$$ f(x_{e}) = 0 $$

となる点とする。平衡点を含む閉領域$\Omega$において次の条件

(1) 正定値性 $$ V(x_{e}) = 0,\ V(x)>0 \, (x \neq x_{e}) $$

(2) 時間微分の半負定値性 $$ \begin{array}{c} \dot{V}(x) &=& \left( \frac{\partial V(x)}{\partial x} \right)^{T} f(x) \\ &=& \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial V(x)}{\partial x_{i}} f_{i}(x) \le 0 \end{array} $$

を満たすスカラー値関数$V(x)$が存在するとする。このような$V(x)$をリアプノフ関数と呼ぶ。

このとき元の自励系による平衡点$x=x_{e}$はリアプノフ安定である。 すなわち自励系の解$x(t)$とその初期値$x(0)$について

$$ \begin{align} & \forall \epsilon>0, \exists \delta>0 \ (s.t) \\ & |x(0) - x_{e}| < \delta \Rightarrow |x(t) - x_{e}| < \epsilon \end{align} $$

が成立する。このようなときに平衡点$x_{e}$をリアプノフ安定であると呼ぶ。

本エントリーではリアプノフの安定定理を証明していきたい。その動機は所有している制御系の書籍にはリアプノフ安定定理の紹介だけは載っているが、厳密な証明が無かったためだ(お金が無いのであまりホイホイと買えないのも理由の一つにある)。

出来得る限り厳密に書いていきたいが、何分自身が数学的な知識に乏しいのと数学的な証明の力が不足しているので色々と穴だらけな証明になると思う。ここが間違ってますよ~、定義が甘いよ~などと指摘してもらえると非常にありがたい。

なお内積やノルムを一般の形式できちんと書くべきであるが、ここでは有限次元ベクトル空間のEuclid空間を想定しているため、標準内積とEuclidノルムを用いることにしている。できるだけ一般の形式に簡単に変換出来るように書きたいが、細かな部分はご容赦願いたい。

以下より証明を述べていこう。

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JupyterNotebookのためのBokehのまとめ

Bokehのまとめ

Bokehのまとめを書いていきます。

PyKalmanパッケージのインストールとコードの修正

Pythonでカルマンフィルタをやりたいなと思って調べたところ、PyKalmanというパッケージがありました。便利そうな作りなのでしばらくこれで遊んでみることにします。

PyKalmanのインストール

最新バージョンは PyKalman 0.95 です。

公式リファレンス: pykalman — pykalman 0.9.2 documentation
GitHub: GitHub - pykalman/pykalman: Kalman Filter, Smoother, and EM Algorithm for Python

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伝達関数とブロック線図

  • 伝達関数
  • ブロック線図
    • 直列
    • 並列
    • フィードバック
      • 補足
      • 補足の補足

伝達関数

伝達関数とは、システムへの入力を出力に変換する関数のこと言う。
通常、伝達関数ラプラス変換によって変換された複素関数で表示されます。

出力、入力を順に時間の関数として$y(t), u(t)$とすると、これらをラプラス変換した関数を$Y(s), U(s)$としてやれば伝達関数$G(s)$は

$$ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} $$

と書く。
考え方として分かりやすい書き方だと

$$ Y(s) = G(s)U(s) $$

と書く。つまり伝達関数$G(s)$とは、入力$U(s)$を$G(s)$倍するような増幅装置のような役割となっています。

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状態フィードバック制御

状態フィードバック制御とは

システム $$ \dot{x} = x + u $$ について考える。このシステムの極は、特性方程式により、

$$ (s-1) = 0 $$ $s=1$が極となる。
したがって、このシステムは不安定である。

$$ x = A \exp{(st)} $$

ここで入力$u$を工夫して

$$ u = kx + v $$

このようにすると、

新たなシステムが

$$ \begin{align} \dot{x} &= x + kx + v \\ &= (1+k)x + v \end{align} $$

この特性方程式

$$ (s-(1+k)) = 0 $$ により $$ s = 1+k $$ となり、$s$を任意の値に設定することが出来る。

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制御工学の基礎 目次

制御工学を勉強するためにこのページをまとめておきます。

Python-Controlモジュール関連のサイト

制御工学の基礎

制御工学とは、モノをコントロールする学問のことを指す。
Wikipediaを見るとなんとなく分かるかもしれない。

必要とする数学

制御工学は基本的に複素数の範囲でモノを考えます。
制御工学を理解・学ぶ上で基礎知識として欲しい数学が

の4つ程度だと思われます。
それぞれ特に難しいものでは無いのでちゃちゃっとやってしまえば3日ほどで必要なものはマスター出来るでしょう。

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