たけし備忘録

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ルベーグ積分の早見まとめ

ルベーグ積分を最近勉強してるので早見表的にまとめていきます。個人的なまとめです。

測度論

測度論(measure theory)は

  1. 面積や長さとはなんだろう?

  2. ジョルダン測度(様々な図形の面積: 具体的)
    図形を小さな長方形に分けて寄せ集めたものを図形の面積とする考え(リーマン積分の考え方に似ている)

  3. ルベーグ測度(様々な図形の面積: 具体的)
    複数の長方形で図形を覆い(長方形は重なってもいい)、そのようなパターンをたくさん考える。その中で最も図形の面積に近いような長方形のパターンを面積とする考え。

  4. カラテオドリ測度(任意の集合の面積: 抽象的)
    ルベーグ測度のアイディアを元にして一般の集合の面積(測度)を考える

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リアプノフの安定定理の証明

リアプノフの安定定理

リアプノフの安定定理とは次のようなものである。

リアプノフの安定定理

自励系

$$ \dot{x} = f(x), x \in \mathbb{R}^{n} $$

において平衡点$x_{e}$を

$$ f(x_{e}) = 0 $$

となる点とする。

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JupyterNotebookのためのBokehのまとめ

Bokehのまとめ

Bokehのまとめを書いていきます。

PyKalmanパッケージのインストールとコードの修正

Pythonでカルマンフィルタをやりたいなと思って調べたところ、PyKalmanというパッケージがありました。便利そうな作りなのでしばらくこれで遊んでみることにします。

PyKalmanのインストール

最新バージョンは PyKalman 0.95 です。

公式リファレンス: pykalman — pykalman 0.9.2 documentation
GitHub: GitHub - pykalman/pykalman: Kalman Filter, Smoother, and EM Algorithm for Python

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伝達関数とブロック線図

  • 伝達関数
  • ブロック線図
    • 直列
    • 並列
    • フィードバック
      • 補足
      • 補足の補足

伝達関数

伝達関数とは、システムへの入力を出力に変換する関数のこと言う。
通常、伝達関数ラプラス変換によって変換された複素関数で表示されます。

出力、入力を順に時間の関数として$y(t), u(t)$とすると、これらをラプラス変換した関数を$Y(s), U(s)$としてやれば伝達関数$G(s)$は

$$ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} $$

と書く。
考え方として分かりやすい書き方だと

$$ Y(s) = G(s)U(s) $$

と書く。つまり伝達関数$G(s)$とは、入力$U(s)$を$G(s)$倍するような増幅装置のような役割となっています。

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状態フィードバック制御

状態フィードバック制御とは

システム $$ \dot{x} = x + u $$ について考える。このシステムの極は、特性方程式により、

$$ (s-1) = 0 $$ $s=1$が極となる。
したがって、このシステムは不安定である。

$$ x = A \exp{(st)} $$

ここで入力$u$を工夫して

$$ u = kx + v $$

このようにすると、

新たなシステムが

$$ \begin{align} \dot{x} &= x + kx + v \\ &= (1+k)x + v \end{align} $$

この特性方程式

$$ (s-(1+k)) = 0 $$ により $$ s = 1+k $$ となり、$s$を任意の値に設定することが出来る。

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制御工学の基礎 目次

制御工学を勉強するためにこのページをまとめておきます。

Python-Controlモジュール関連のサイト

制御工学の基礎

制御工学とは、モノをコントロールする学問のことを指す。
Wikipediaを見るとなんとなく分かるかもしれない。

必要とする数学

制御工学は基本的に複素数の範囲でモノを考えます。
制御工学を理解・学ぶ上で基礎知識として欲しい数学が

の4つ程度だと思われます。
それぞれ特に難しいものでは無いのでちゃちゃっとやってしまえば3日ほどで必要なものはマスター出来るでしょう。

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